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구간 나누기 2

✔️ 소요된 시간

1시간 트라이하고 레퍼런스 확인

✨ 수도 코드

1. 문제

N개의 수로 이루어진 1차원 배열이 있다. 이 배열을 M개 이하의 구간으로 나누어서 구간의 점수의 최댓값을 최소로 하려고 한다. 구간은 다음과 같은 조건을 만족해야 한다.

1. 하나의 구간은 하나 이상의 연속된 수들로 이루어져 있다.
2. 배열의 각 수는 모두 하나의 구간에 포함되어 있어야 한다.

구간의 점수란 구간에 속한 수의 최댓값과 최솟값의 차이이다.

예를 들어, 배열이 [1, 5, 4, 6, 2, 1, 3, 7] 이고, M = 3인 경우가 있다.

이때, [1, 5], [4, 6, 2], [1, 3, 7]로 구간을 나누면 각 구간의 점수는 4, 4, 6점이 된다. 이때, 최댓값은 6점이다.

만약, [1, 5, 4], [6, 2, 1], [3, 7]로 구간을 나누었다면, 각 구간의 점수는 4, 5, 4점이 되고, 이때 최댓값은 5점이 된다.

두 경우 중에서 최댓값이 최소인 것은 5점인 것이고, 5점보다 최댓값을 작게 만드는 방법은 없다.

배열과 M이 주어졌을 때, 구간의 점수의 최댓값의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

2. 풀이

M개 이하의 구간으로 배열을 나눠야 하는데, 이를 무식하게 다 다루기엔 경우의 수가 너무 많다. 단순히 M이 최대 N까지 가기도 하고, 심지어 M "이하"이기 때문에 경우의 수는 폭발적으로 늘어난다.

문제에서 구하고자 하는 건 구간 점수 최대값 중 최소값인데, 여기서 구간 점수(해당 구간의 최대값 - 최소값)에 주목한다.

이 점수 차이를 탐색의 key로 하여, "전체 배열을 M개 이하로 분할할 수 있는" 것들 중 가장 작은 점수를 구해내면 정답이다. 이 때 "이진 탐색"으로 수행한다. 그러면 시간 복잡도는 $Nlog(N)$으로 충분히 해결 가능하다.

int N, M; cin >> N >> M;

vector<int> Nums(N);
for(int& Num : Nums)
{
    cin >> Num;
}

int Min = 0, Max = *max_element(Nums.begin(), Nums.end());
int Score = Max;

구간의 점수 차이는 최소 0점(구간 내 모든 숫자가 동일함)부터 최대 9999점(배열의 수는 최소 1, 최대 10000)이다. 이 범위 내에서 타겟 점수를 찾아본다. 초기값은 Max이다.

while(Min <= Max)
{
    int EstimateScore = (Min + Max) / 2;
    if(IsValid(EstimateScore))
    {
        Score = min(Score, EstimateScore);
        Max = EstimateScore - 1;
    }
    else
    {
        Min = EstimateScore + 1;
    }
}

전형적인 이진탐색 로직이다. IsValid() 함수의 결과가 true이면 조건에 부합한 추정 점수라 이를 minimum update 수행한다.

auto IsValid = [&](int EstimateScore)
{
    int Count = 1;
    int Min = Nums[0], Max = Nums[0];
    
    for(int i = 1; i < N; ++i)
    {
        Min = min(Min, Nums[i]);
        Max = max(Max, Nums[i]);
        
        if(Max - Min > EstimateScore)
        {
            Count++;
            Min = Nums[i];
            Max = Nums[i];
        }
    }
    
    return Count <= M;
};

핵심 로직이다. 예를 들어보자: [1, 5, 4, 6, 2, 1, 3, 7], M = 3

• EstimateScore == 3: 구간은 [1, 5], [4, 6], [2, 1, 3], [7]로 4개로 M보다 크기 때문에 적정 추정 점수가 아니다. / Min = 4(갱신), Max = 7
• EstimateScore == 5: 구간은 [1, 5, 4, 6, 2, 1, 3], [7]로 2개이므로 적정 추정 점수이다. -> min(Score, EstimateScore) = min(7, 5): 5 갱신 / Min = 4, Max = 4(갱신)
• EstimateScore == 4: 구간은 [1, 5, 4], [6, 2], [1, 3], [7]로 4개이므로 적정 추정 점수가 아니다. / Min = 5, Max = 4
• Min > Max이므로 break

따라서 정답은 5이다.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main()
{
    cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
    
    int N, M; cin >> N >> M;
    
    vector<int> Nums(N);
    for(int& Num : Nums)
    {
        cin >> Num;
    }
    
    auto IsValid = [&](int EstimateScore)
    {
        int Count = 1;
        int Min = Nums[0], Max = Nums[0];
        
        for(int i = 1; i < N; ++i)
        {
            Min = min(Min, Nums[i]);
            Max = max(Max, Nums[i]);
            
            if(Max - Min > EstimateScore)
            {
                Count++;
                Min = Nums[i];
                Max = Nums[i];
            }
        }
        
        return Count <= M;
    };
    
    int Min = 0, Max = *max_element(Nums.begin(), Nums.end());
    int Score = Max;
    while(Min <= Max)
    {
        int EstimateScore = (Min + Max) / 2;
        if(IsValid(EstimateScore))
        {
            Score = min(Score, EstimateScore);
            Max = EstimateScore - 1;
        }
        else
        {
            Min = EstimateScore + 1;
        }
    }
    
    cout << Score;

    return 0;
}

📚 새롭게 알게된 내용

이 문제는 2024 NHN 게임 공채 코딩 테스트 문제와 유사하다(디스코드에 관련 포스트가 있으니 많관부!).

코테 칠 당시에는 어떤 유형인지 파악하지 못해 못 풀었는데 @mjj111 님이 "이거 이진탐색임!" 해서 눈에 불을 키고 백준 뒤져보니 비슷한 게 이 문제였다.

트라이 해봤지만... 1시간 동안 감도 못잡고 레퍼런스 확인하고 나서야 겨우겨우 끄적일 수 있었던...

한동안 백트래킹/이진탐색/그리디/DP 위주로 풀어야겠다.

p.s. 참고로 이 문제는 N의 크기가 작어서 다음과 같이 선형 탐색을 해도 통과한다.

int Score = 10001;
for(int EstimateScore = 0; EstimateScore < *max_element(Nums.begin(), Nums.end()); ++EstimateScore)
{
    if(IsValid(EstimateScore))
    {
        Score = min(Score, EstimateScore);
    }
}

(위가 선형탐색, 아래가 이진탐색)